Welch の t 検定: 等分散を仮定しない t 検定

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2018/05/06 更新

  1. 概要: Welch の t 検定とは

t 検定を理解するために

以下の順番に読んでみて下さい。

  1. 仮説検定
  2. z 検定
  3. t 検定の原理 - 母平均の検定
  4. 対応のある t 検定: このページ
  5. t 検定 メインページ: 等分散の場合
  6. Welch の t 検定: 分散が同じと言えない場合
  7. Mann-Whitney の U 検定
  8. t 分布
  9. 実践: Excel での t 検定, 平均値と分散を用いた t 検定

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概要: Welch の t 検定とは

このページでは、目次に示した「t 検定を理解するために」の流れで Welch の t 検定を説明します。

Welch の t 検定は、母分散が等しいと仮定できない場合 の検定である。母分散は通常の場合未知であるので、2 つの標本集団の分散から推察するしかない。標本集団の分散が大きく異なっている場合は、母分散が等しいと仮定できないと推論することになるだろう。F 検定の是非については t 検定 のメインページ で考察がある。


この場合も、もちろん帰無仮説は等式で表されるので、


帰無仮説: 標本集団 A および B の平均値は同じである。
対立仮説: 標本集団 A および B の平均値は同じでない。


となる。これまでと違うのは、検定統計量の定義だけである。

左は、t 検定 のメインページ で示した等分散を仮定できるときの t 値である。どちらの t 値でも、Xa, Xb は標本集団 A および B の平均値、na, nb は標本数。違うのは分散の部分である。


z value z value

ue2 は併合分散で、これは分散が等しい
場合にのみ使うことができる。
ua2、ub2 は標本集団 A および B の標準不偏分散で、
分散が等しいと仮定できないのでこれらを別々に
用いなければならない。

右側の Welch の t 検定の t 値は、残念なことに 近似でしか t 分布に従わない。逆に言えば、この近似を編み出したことが Welch の功績なのだろう。さらに自由度 v も近似であり、以下の式で表される。整数になる場合はその値を、ならない場合はもっとも近い値を自由度として扱う。

以降の手順は、他の t 検定と同じなので省略する。



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References

  1. MATLAB による仮説検定の基礎. Web pdf.
  2. バイオインフォマティクス入門. ウェルチの t 検定. Link.