t 検定の原理 #1:
母分散が未知の場合の母平均の検定

statistics/group_comparison/t_test_mean_principle
2018/06/03 更新

  1. 概要: t 検定とは
  2. t 値の分布
t 検定を理解するために

以下の順番に読んでみて下さい。

  1. 仮説検定
  2. z 検定
  3. t 検定の原理 #1: 母平均の検定: このページ
  4. t 検定の原理 #2: 対応のある t 検定
  5. t 検定の原理 #3: 正規分布、等分散の場合
  6. Welch の t 検定: 等分散と言えない場合
  7. Mann-Whiteney の U 検定: ノンパラ
  8. t 分布
  9. 実践: Excel での t 検定, 平均値と分散を用いた t 検定

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概要: t 検定とは

t 検定とは,t 分布に従う 検定統計量 t を利用する検定法 の総称である。一般に,2 組のグループ (標本集団) があるとき、それらの集団のもつ値の平均値が有意に異なるかどうかという検定に用いられるが,以下のように様々なパターンがある。

  1. ある標本集団 (1 群) の母集団の平均値が特定の値に等しいかどうか
  2. 2 群の母集団の平均値が等しいかどうか
  3. 回帰直線を引いたときに,その勾配が 0 に等しいかどうか

このページでは、t 検定の原理を理解するために、もっともシンプルな t 検定である 1 番、つまり「母分散が未知の場合に、母平均がある値に等しいかどうか」という検定を行う。仮説検定 hypothesis testz 検定 のページを理解していることが前提である。実際に、やっていることは z 検定と非常によく似ている。

z 検定と同様に、文献 1 の例題を用いる。


例題 1

ある地域に立地する全てのスーパーマーケットの昨年の卵 1 パックの平均価格は、117 円でした。今年は、地域からランダムに 20 店舗を選び、卵 1 パックの値段を調査することになりました。結果は、次の通りです。

119; 117; 115; 116; 112; 121; 115; 122; 116; 118;
109; 112; 119; 112; 117; 113; 114; 109; 209; 118;

この結果から、地域内全てのスーパーマーケットの今年の卵 1 パックの平均価格は、117 円であるといえるでしょうか?

なおデータは正規分布に従うが、その母標準偏差は未知である。この部分が唯一 z 検定と異なる。


仮説検定 のページの流れに従い、

帰無仮説: 平均価格は 117 円である。
対立仮説: 平均価格は 117 円ではない。

のように仮説を設定する。検定統計量 z を算出するには母集団の標準偏差 σ が必要であるが、今回は未知なので、検定統計量 t を下のように計算する。


z value z value

z 検定に用いる検定統計量、z 値。
m は標本平均、μ は母平均、
σ は母標準偏差
n は標本数である。

t 検定に用いる検定統計量、t 値。
m は標本平均、μ は母平均、
u は標本集団の標準偏差 (不偏分散から算出)、n は標本数である。


上の 20 個の値から計算すると、t = -2.1379 となる。そこで次に、この -2.1379 という値が現れる確率がどれだけ小さいかを検討することになる。



t 値の分布

z 値は標準正規分布に従う値であったが、この t 値は t 分布 に従う統計量である。そして、t 分布は自由度 degree of freedom のみの関数である。

t 分布表 (2) および t 分布の図 (3) を以下に載せておく。


例題の場合、自由度は 19 になる。有意水準 5% での棄却域はプラスマイナス 1.729 になるため、帰無仮説は棄却される。つまり、この条件で - 2.1379 という t 値が現れる確率は 5% 以下と極めて低いことになる。したがって、「平均価格は 117 円とは有意にずれており、117 円であるとは言えない」という結論になる。

次はいよいよ、「普通の」2 標本の平均値の差を検定する t 検定に移ります。対応のある t 検定のページへ進んで下さい。



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References

  1. MATLAB による仮説検定の基礎. Web pdf.
  2. "Tabla t" by Jsmura - Own work. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons.
  3. "Student densite best" by The original uploader was Thorin at French Wikipedia - Transferred from fr.wikipedia to Commons.. Licensed under CC BY-SA 1.0 via Wikimedia Commons.