1. 概要: 対応のある t 検定とは – どんな場合に使うのか
2. 対応のある t 検定の原理

概要: 対応のある t 検定とは

このページは、以下の一連の t 検定に関するページの一部である。より深く理解したい場合には、順に読むことをお勧めする。

1. 仮説検定
2. z 検定
3. t 検定の原理 #1: 母平均の検定
4. t 検定の原理 #2: 対応のある t 検定: このページ
5. t 検定の原理 #3: 正規分布、等分散の場合
6. Welch の t 検定: 等分散を仮定できない場合
7. Mann-Whitney の U 検定: 正規分布 を仮定できない場合。ノンパラ。
8. 実践 1: Excel での t 検定

対応のある t 検定は、2 つのデータセットに対応がある場合 に用いる。他の 2 つよりも検出力が高くなる (有意な差を見出しやすくなる) ため、いわゆる「有意差がほしい」ときにも、この検定を正しく使えることは重要である。

• 10 人が 50 m 走のタイムを測定した (データセットA)。その人たちが 1 週間のトレーニングを行い、 再び 50 m 走のタイムを計った (データセット B)。A と B のデータは同じ 10 人から得られているので対応がある。
• たとえば、10人に含まれる「鈴木さんの A のタイム」は、「鈴木さんの B のタイム」と対応している。トレーニングの効果を知りたいなら、 他の人の B のタイムではなく、鈴木さん自身の B のタイムと比較するべきである。

このページのポイントは、対応のある t 検定は、母平均がある値に等しいかどうかの 1 群の t 検定と本質的に同じ ということである。

対応のある t 検定の原理

文献 1 の例題 4 を参考にしています。

まず、仮説を設定する。帰無仮説は等式で表せるものにするのが基本であるので、「同じ」である方が帰無仮説になる。文章で素直に表すと

帰無仮説: 積雪量の平均値は同じである。
対立仮説: 積雪量の平均値は同じでない。

となるが、ここは一工夫して以下のように差をとって表すことにする。

H₀: μ₁ - μ₂ = 0
H₁: μ₁ - μ₂ ≠ 0

ここで、H₀ は帰無仮説、H₁ は対立仮説、μ₁ は昨年 1 月の積雪量の平均値、μ₂ は今年 1 月の積雪量の平均値である。

次は検定統計量を求めるステップであるが、その前に、観測点ごとにデータの差をとることにする。

するとこの検定は、差の値を標本集団として、標本集団の平均値が 0 に等しいと言えるかどうかという問題に置き変えることができる。これは t 検定の原理 - 母平均の検定と全く同じ 問題設定である。

したがって、ここで用いるべき検定統計量は、m を標本平均、μ を母平均、u を標本集団の標準偏差 (不偏分散から算出)、n を標本数として

となる。

あとの手順は、t 検定の原理 - 母平均の検定と全く同じなので省略する。結果的に P = 0.058 となり、帰無仮説は棄却できない。したがって、「積雪量は同じであるとはいえない」という結論になる。

対応のある t 検定は、母平均の検定と同じである というのがこのページの重要な点である。続いて、t 検定の原理 #3: 正規分布、等分散の場合で、対応のない t 検定の考え方を学習する。

References

1. MATLAB による仮説検定の基礎. Web pdf.

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