1. 確率変数とは
   • 確率変数の離散型と連続型
2. 確率分布とは
3. 離散型の確率分布
   • 離散型分布の例
4. 連続型の確率分布
   • 連続型分布の例
5. 累積分布関数

概要: 確率変数とは

確率変数 random variable とは、それぞれの要素が確率 probability をもつ変数 variable のことである。なお変数 variavble とは、未知の数、不定の数を示す文字記号のことで、教科書ではよく x, y, z などで表される。

言い換えると、ある変数のとる実際の値が、確率によって定まる場合、その変数は確率変数と呼ばれる とも言える。具体例を挙げてみよう。

• サイコロの目を x とおいてみる。x は 1 から 6 までの整数値をとる変数である。これ対して、サイコロを振るという行為を考えた場合、x のそれぞれの値は 1/6 という確率を有することになる。したがって、サイコロの目は確率変数である。
• ある人の体重 BW を測定したときに、ある一定の確率で BW = 60 kg という値が出るだろう。したがって、体重は確率変数である。

身長、血糖値、寿命など、通常の実験で測定されるような値は、基本的には確率変数であると考えて良い。

確率変数の離散型と連続型

確率変数は、大きく以下の 2 種類に分けることができる。

• 離散型の確率変数 discrete random variables
• 連続型の確率変数 continuous random variables

離散型とは、サイコロの目のように 1, 2, 3... といった決まった値を取り、その中間値がないものである。

連続型とは、身長、体重のように連続した値を取りうるもので、無限の値が存在する。

確率分布とは

確率分布 probability distribution とは、確率変数が散らばっているパターンそのもの のことをいう。

離散型の確率変数と、連続型の確率変数では、確率分布の定義も異なっている。

• 離散型: 一般に可算集合 {x1, x2, ...} の中の値をとる確率変数 X は離散型といわれ、それぞれの値の確率 P(X=x_k) = f(x_k) を確率分布という (3)。
• 連続型: 確率変数 X のとる値 x が実軸上の領域 A に含まれる確率を A の関数として表したもの。確率空間 (Ω, B, P) の測度、すなわち確率 P によって P(X ∈ A) のように与えられる (2)。

確率分布は、数式で表すことができる。最も単純な例として、「6 の目しか出ないサイコロを振ったときに出る目 X」という変数を考えてみよう。この場合、x = 6 となる確率は 100% である。

よって、「6 の目が出る確率」を P(X=6) と表すと、P(X=6) = 1 がこの変数を表す数式である。このような、確率分布を記述する関数を 確率密度関数 probability density function (PDF) という。

離散型の確率分布

もう少し複雑な実例として、正 5 面体の理想的なサイコロを考えてみる。確率変数は 1, 2, 3, 4, および 5 であり、それぞれの値がもっている確率は 0.2 である (割り切れるように 6 面体でなく 5 面体のサイコロにした)。

視覚化するならば図のようになる。

この例では、サイコロは 1 - 5 以外の値をとらないため、離散型の確率分布 discrete probability distribution と呼ばれる。

この場合の確率密度関数は、

P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = 0.2

となる。次に述べる連続型の確率分布では、もう少し関数らしく見える確率密度関数が得られる。

このグラフは MATLAB で作ったが、R で作った六面体サイコロの確率密度関数も示しておく。

離散型分布の例

連続型の確率分布

身長や体重は、サイコロの目のように離散的な値をとらず、連続的な分布を示す。この場合は、上記の例のように 0.2 などの数値の羅列で分布のパターンを記述することはできないため、関数で記述する必要がある。

連続型の確率変数の場合も、分布のパターンを確率分布といい、それを記述する関数を確率密度関数という。

たとえば、太郎が学校を出てから家にたどり着くまでの時間を表すと、おそらく以下のような正規分布になるだろう。ここで重要なのは以下の点である。

• 時間は、はサイコロの目のように有限な数の要素にわけることができない。
• つまり、グラフの線はいくら拡大しても線であり、点の集合ではない。
• 逆に言えば、たとえば太郎が正確に 30 分で家にたどり着く確率はゼロである。

太郎が正確に 30 分で家にたどり着く確率はゼロであるが、「30 - 35 分」のように範囲を与えることで、積分によって確率を指定することができるようになる。

連続型分布の例

累積分布関数

まず、確率変数 X が A 以下の値をとる事象を {X ≤ A} とする。決まった範囲でなく 「A 以下の全ての値」

 -∞ ≤ X ≤ A  であることに注意しよう。

このとき、この確率は P(X≤A) = F(x) という関数で表される。関数 F(x) を 累積分布関数 cumulative distribution function, CDF という。 

横軸に x 、縦軸に F(x) をとり、累積分布関数の図を描いてみよう。以下のことから、大体の形をイメージできるだろう。

1. F(x) はあくまで確率なので、正の値をとり、かつ 1 を超えない。
2. x が ∞ のとき、F(x) は 「確率変数 Y が無限大以下である確率」 である。つまり F(x) = 1 である。
3. 逆に、x が - 無限大に近づくと、F(x) は 0 に近づいてゆくだろう。

したがって、F(x) は F(x)=1 と F(x)=0 を漸近線とするグラフになる。

よく言われるのが、「累積分布関数を微分すると確率密度関数になる」 ということである。これは全く正しいが、積分から考えたほうがイメージしやすいのではないかと思う。

• 積分とは、関数と軸の間の面積を計算することである。
• 累積分布関数を微分すると確率密度関数になるのだから、逆に確率密度関数を積分すると累積分布関数になる。

これらのことを踏まえた上で、図 1 または図 2 で関数と X 軸の間の面積を左の方から（-∞ から）足し合わせていくイメージで考えてみよう。

1. x は -∞ まで及んでいるが、x が小さいときは確率もとても小さいので、x を増やして行っても面積の増加はわずかである。
2. x が 0 に近づくと、次第に増加率も大きくなっていく。
3. この図は x = 0 に対して左右対称であり、かつ x = ∞ までの面積を全部足すと 1 になる。したがって、x = 0 のとき、ちょうど面積は 0.5 になり、そこから増加率が徐々に減ってゆく。
4. x が正の ∞ に近づくと、増加率は非常に小さくなる。

x を動かしていったとき、その面積の変化がそのまま累積分布関数 F(x) になることがイメージ出来ただろうか？

References

1. 確率と確率変数. Web pdf.
2. Amazon link: 岩波 理化学辞典 第5版: 使っているのは 4 版ですが 5 版を紹介しています。
3. 統計学入門 (基礎統計学 I)

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