確率とは: 定義、実例など

UB3/statistics/basics/probability

このページの最終更新日: 2019/08/08

  1. 概要: 確率とは
  2. 確率の公理

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概要: 確率とは

まず、確率を考える際に必要な概念を整理しておこう (1)。

事象
event

偶然性を伴って起こる事実 (結果) のことを事象という。

たとえば、サイコロの目のを例にして確率について議論するとき、そのサイコロが 6 面全て 1 だったり、1, 2, 3 がなくて 4 と 5 と 6 が 2 つずつあったりする場合、そもそも通常の議論が成り立たない。

6 面全て 1 のサイコロを使う場合、「6 が出る」という事実は起こらないわけであり、この可能性は確率に関する議論の対象にならないわけである。

統計・確率論では、原則としてそのような例外は考えず、偶然性を伴って起こる事象のみを考察の対象とする。

ただし、猿がシェイクスピアを書くように、6 面全て 1 のサイコロを構成する原子がランダムに組み変わった結果、偶然 6 の目をもつサイコロが生じるという可能性も 0 ではないわけで (宇宙が存在する時間では全然足りないが、それでも 0 ではないはず)、この概念も自分ではいまだに咀嚼しきれていない。

余事象

英語では complementaly event という。ある事象 A が現れないことをいう。

このほか、全事象、空事象、和事象、積事象という概念もある。

確率
probability

上記の事象の概念を理解して、ようやく確率を定義することができる。確率とは、ある事象が現れる割合のこと をいう。たとえば、理想的なサイコロを振った場合に 1 が現れるという事象が起こる確率は 1/6 である。

モンティ・ホール問題 のページも参照のこと。


確率とは関係が薄いが、


確率の公理

確率は、前提として以下の性質をもっている。これは確率を考える際の公理 axiom であり、無条件に受け入れられるべきことである。

  1. 任意の事象に対して、確率は 0 と 1 の間の値をとる (0 と 1 も含む)。
  2. 全ての事象を考えたとき、それらの確率の和は 1 になる。
  3. 事象 A と事象 B が互いに排反ならば (A と B が同時に起こり得ない、つまり A かつ B である確率が 0)ならば、 (A or B の起こる確率)= (A の起こる確率)+ (B の起こる確率) である。

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References

  1. 確率と確率変数. Web pdf.

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