確率: モンティ・ホール問題

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2018/03/17 更新

  1. 概要: モンティ・ホール問題とは

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概要: モンティ・ホール問題とは

一般の小説 (2) でも取りあげられるようになった有名な確率問題。貴志雄介「悪の教典」から引用してみよう。

三つの扉 A, B, C がある。一つだけ扉を開けることが許され、奥にあるものを獲得できる。一つの扉の奥には豪華な賞品があり、残り二つの扉の奥には何もない。

  1. 任意の扉 - 扉 A を選んで、賞品を獲得できる確率は何パーセントか。
  2. 扉 A を選んだ後、司会者が残り 2 つの扉のうち空であるほう (便宜上、扉 C とする) をあけて、何もないことを示した。ここで、扉 A か扉 B か、もう一度選択が許されるとする。どちらを選んだほうがが有利か。それぞれを選んだ場合に賞品を獲得できる確率を求めよ。



この問題は有名なので、ネット上にも様々な考え方の解法が載っている。一番わかりやすいと思った説明を一つだけ紹介しておく。英語版の Wikipedia にあった説明だ。本来、この問題では賞品が車で、外れのドアの向こうにはヤギがいるので、説明にはそのような図が使われている。


まず、最初に選んだ扉を変えない場合。このとき、司会者が何をしようと確率は 1/3 である。

次に、扉を変える場合を考えてみる。これは 3 つのパターンに分けることができる。

パターン 1

最初に外れの扉 A を選んだ場合、司会者は B のドアを開けることになる。このとき、扉を A から C に変えることになるので、確実に車を手にすることができる。

車をゲットできる確率は、1/3 ( 最初に A を選ぶ確率) x 1 ( 扉を変えると確実にゲットできるので) = 1/3 である。



パターン 2

最初に外れの扉 B を選んだ場合にも全く同様の結果になる。下の図では指の位置が違うが、中央を指していると思ってほしい。

この場合も、車をゲットできる確率は、1/3 ( 最初に B を選ぶ確率) x 1 ( 扉を変えると確実にゲットできるので) = 1/3 である。= 1/3



パターン 3

最初に車が入っている扉 C を選んだ場合、扉を変えてしまうと車は手に入らない。図では車と指マークが右端にあると思ってほしい。したがって確率は 0 である。


以上を合計すると、扉を変えたときに車をゲットできる確率は、1/3 + 1/3 + 0 = 2/3 となり、扉を変えなかった場合の 2 倍となる。


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References

  1. 確率と確率変数. Web pdf.
  2. 貴志祐介 2010a. 悪の教典. 文芸春秋.
  3. モンティ・ホール問題. Wikipedia.